三角恒等式

04-26, 2016

做个总结，基本上都来自维基。

各种角：

特殊角的值：

角度	弧度	sin	cos	tan
15	`pi/12`	`(sqrt(6)-sqrt(2))/4`	`(sqrt(6)+sqrt(2))/4`	`2-sqrt(3)`
30	`pi/6 `	`1/2`	`sqrt(3)/2`	`sqrt(3)/3`
45	`pi/4`	`sqrt(2)/2`	`sqrt(2)/2`	1
60	`pi/3`	`sqrt(3)/2`	`1/2`	`sqrt(3)`
90	`pi/2`	1	0

勾股定理

`sin^2theta + cos^2theta = 1`

直角三角形中，` a^2 + b^2 = c^2`，是余弦定理 ` c^2 = a^2+b^2-2bc cos(gamma)`的特殊情况。

逆定理：

如果`a^2 + b^2 = c^2 `，则△ABC是直角三角形。
如果`a^2 + b^2 > c^2 `，则△ABC是锐角三角形（若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角）。
如果`a^2 + b^2 < c^2 `，则△ABC是钝角三角形。

sin、cos、tan 等式

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Related_identities

对称、偏移、周期

诱导公式。有六种形式（关于2π的周期性、关于π的周期性、奇偶性、关于y轴的对称性、直角三角形的转换），可以统一成：

$ \sin \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in z $
$ \cos \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in z $
$ \tan \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in z $

口诀：「奇变偶不变，符号看象限」，当k为奇数时，sin变为cos，cos变为sin，tan变为cot，cot变为tan；而k为偶数时，三角函数则不变换。对于正负号，使用口诀：CAST 。

和差恒等式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $

多倍角公式

二倍角：

$ \sin (2\theta) = 2 \cos \theta \sin \theta =\frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} $

$ \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} $

$ \tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta} $

半角：

$ \sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} $

$ \cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $

$ \begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \ &= \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta-\sin \theta+1} \end{align} $

其它：

$ \tan\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} $

$ \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta} $

二次降幂

$ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2} $

$ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2} $

$ \sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos (4\theta)}{8} $

积化和差、和差化积

积化和差：

$ 2\cos \theta \cos \varphi = { {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi)}} $

$ 2\sin \theta \sin \varphi = { {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi)} } $

$ 2\sin \theta \cos \varphi = { {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi)} } $

$ 2\cos \theta \sin \varphi = { {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi)} } $

$ \tan \theta \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)} $

和差化积：

$ \sin\theta+\sin\phi=2\sin\frac{\theta+\phi}{2}\cos\frac{\theta-\phi}{2} $

$ \cos\theta+\cos\phi=2\cos\frac{\theta+\phi}{2}\cos\frac{\theta-\phi}{2} $

$ \cos\theta-\cos\phi=-2\sin{\theta+\phi\over2}\sin{\theta-\phi\over2} $

$ \sin\theta-\sin\phi=2\cos{\theta+\phi\over2}\sin{\theta-\phi\over2} $

求面积

基本公式：`S=1/2ah`，已知两边一夹角：`S=1/2ab sin(C)`，已知边长及外接圆半径：`S=(abc)/(4R)`

总结：

余弦定理也适用于角：

` sin^2(alpha) = sin^2(beta)+sin^2(gamma)-2sin(beta)sin(gamma)cos(alpha)`

一个三角形中，若给出包含 cos 和 sin 的边角等式，求边关系时，可用正弦定理将边转换为三角函数：

（辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，` asinAsinB+bcos2A=sqrt(2)a `，则 `b/a = `

三角形中若只包含边的等式，求 cos 的值时可用余弦定理：

在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若 `a^2+b^2=2c^2`，则 `cos C` 的最小值为（）

在三角形中，`sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=4sin(A)sin(B)sin(C)`, 三个角化为两个角，展开、提公因式、转换得到其中一角平方，再提公因式、变换得到第三个角的三角函数。